Question

设a∈R，f（x）=x2+a|x-a|+2（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记f（x）的最小值为g（a），求g（

设a∈R，f（x）=x2+a|x-a|+2（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

（1）f（x）为偶函数
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即x²+a|x+a|+2=x²+a|x-a|+2∴a=0…．（3分）
（2）当x≥a时，f（x）=x²+ax+2-a²，对称轴为x＝?

a

2

若a≤?

a

2

即a≤0时，f(x)min＝f(?

a

2

)＝

a2

4

?

a2

2

+2?a2＝2?

5

4

a2
若a＞?

a

2

即a＞0时，f(x)min＝f(a)＝a2+2…（6分）
当x＜a时，f（x）=x²-ax+a²+2，对称轴为x＝

a

2

若a≤

a

2

即a≤0时，f（x）＞f（a）=a²+2
若a＞

a

2

即a＞0时，f(x)min＝f(

a

2

)＝

3

4

a2+2…..（9分）
a≤0时，(a2+2)?(2?

5

4

a2)＝

9

4

a2≥0∴f(x)min＝2?

5

4

a2，
a＞0时，(a2+2)?(

3

4

a2+2)＝

a2

4

≥0
∴f(x)min＝

3

4

a2+2…..（11分）
∴g(a)＝

2? 5 4 a2，a≤0 3 4 a2+2，a＞0

…（13分）