Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
则

4a+2b+2＝2 9a+3b+2＝0

，
解得

a＝? 2 3 b＝ 4 3

，
∴y＝?

2

3

x2+

4

3

x+2．

（2）由y＝?

2

3

x2+

4

3

x+2=?

2

3

(x?1)2+

8

3

．
∴顶点坐标为G（1，

8

3

）．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
则AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线．
∴EA=2GH=

4

3

．
过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM=EA=

4

3

．
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=

7

3

．

（3）要使四边形BCPQ的周长最小，
将B向下平移一个单位至K，取C关于对称轴对称点M．
连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，
可使KP+PM最短．则QPKB为平行四边形，
QB=PK，