Question

（2013?郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（

（2013?郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B₁M，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABC⊥面CB₁，△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB₁，又BD?平面CB₁，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC₁B₁中，tan∠BB1M＝tan∠CBD＝

1

2

，
所以∠BB₁M=∠CBD，
所以BD⊥B₁M，又B₁M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB₁M，故AB₁⊥BD，
又正方形BAA₁B₁中，AB₁⊥A₁B，A₁B∩BD=B，
所以AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）取AA₁的中点为N，连结ND，OD，ON．
因为N，D分别为AA₁，CC₁的中点，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以ON∥平面ABC，又ON?平面BAA₁B₁，平面BAA₁B₁∩平面ABC=AB，
所以ON∥AB，注意到AB∥A₁B₁，所以ON∥A₁B₁，又N为AA₁的中点，
所以O为AB₁的中点，即

AO

OB1

＝1为所求．