Question

已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1

已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜-1，（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）若D为抛物线y=14x2+bx+c上一动点，是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等？若存在，求出此时t的值；（3）如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．

Answer 1

（1）∵c（0，-1），
∴y=

1

4

x²+bx-1，
又∵AO=2OC，
∴点A坐标为（-2，0），
代入得：1-2b-1=0，
解得：b=0，
∴解析式为：y=

1

4

x²-1；

（2）假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等，
设D（a，

1

4

a²-1），
则OD=

a2+( 1 4 a2?1)2

=

( 1 4 a2+1)2

=

1

4

a²+1，
点D到直线l的距离：

1

4

a²-1+|t|，
∴

1

4

a²-1+|t|=

1

4

a²+1，
解得：|t|=2，
∵t＜-1，
∴t=-2，
故当t=-2时，直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等；

（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则EN=y₁+2，FH=y₂+2，
∵M为EF中点，
∴M纵坐标为：

y1+y2

2

=

(EN?2)+(FH?2)

2

=

EN+FH

2

-2，
由（2）得：EN=OE，FH=OF，
∴

y1+y2

2

=

EN+FH

2

-2=

OE+OF

2

-2，
要使M纵坐标最小，即

OE+OF

2

-2最小，
当EF过点O时，OE+OF最小，最小值为8，
∴M纵坐标最小值为

OE+OF

2

-2=

8

2

-2=2．