Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P。（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

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Answer 1

解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90° ∴∠BAC=60° ∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP ∴∠EPC=30° ∴三角形BDP为等腰三角形 ∵△AEP与△BDP相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 ∴在RT△ECP中，EC= EP= ； （2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1，EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB=90° ∴△ADQ与△ABC相似 ∴ 即 ， ∴ ∵在RT△ADQ中 ∵ ∴ 解之得x=4，即BC=4 过点C作CF//DP ∴△ADE与△AFC相似， ∴ ， 即AF=AC，即DF=EC=2， ∴BF=DF=2 ∵△BFC与△BDP相似 ∴ ， 即：BC=CP=4 ∴tan∠BPD= ； （3）过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a ∴ 且 ∴ ∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得： 即： ， 解之得 ∵△ADQ与△ABC相似 ∴ ∴ ∴三角形ABC的周长 即： ，其中x>0。