Question

已知P为圆x 2 +y 2 =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，（1）求点M的轨迹C的方程；（2

已知P为圆x 2 +y 2 =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

Answer 1

解：（1）设M（x，y），则P（x，2y）， ∵点P在圆x 2 +y 2 =4上， ∴x 2 +（2y） 2 =4， 所以点M的轨迹C的方程为 +y 2 =1； （2）依题意，显然l的斜率存在，设l：y=kx+2， 由方程组 ，消y得（1+4k 2 ）x 2 +16kx+12=0， ∵直线l与C有两交点， ∴△=（16k） 2 -4×12·（1+4k 2 ）＞0，解得k 2 ＞ ， 且x A +x B = ，x A ·x B = ； 又∠AOB为直角或锐角，x A ·x B +y A ·y B ≥0， 即x A ·x B +（kx A +2）（kx B +2）≥0， （1+k 2 ）x A ·x B +2k（x A +x B ）+4≥0， 所以（1+k 2 ） -2k +4≥0，解得k 2 ≤4， 故直线l的斜率k的取值范围是k∈ 。