Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+f(x)x＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+1x的零点个数

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+f(x)x＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+1x的零点个数为（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

令g(x)＝f(x)+

1

x

=0，得f（x）=-

1

x

，
即xf（x）=-1，即零点满足此等式
不妨设h（x）=xf（x），则h'（x）=f（x）+xf'（x）．
∵当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴当x≠0时，

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
即当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（0）=0，
∴h（x）≥0，
∴h（x）=-1无解，即xf（x）=-1无解
即函数g(x)＝f(x)+

1

x

的零点个数为0个．
故选：A