Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，对一切m，n∈（0，+∞），都有：f(m/n)=f(m)－f(n),且f(4)=1

设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，对一切m，n∈（0，+∞），都有：f(m/n)=f(m)－f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)－f(1/x)＜2

Answer 1

令m=n 那么f(1)=f(m)-f(m)=0
∴
f（1/4）=f(1)-f(4)=-f(4)=-1
1-（-1） =f(4)-f(1/4)=f(16)
∴f(x+6)－f(1/x)＜2
等价于
f(x+6)－f(1/x)＜f(16)
f(x+6)－f(1/x)=f(x²+6x)<f(16)
由于
在（0,+∞）是增函数
∴
x²+6x-16<0
（x+8）(x-2)<0
∴-8<x<2
又由于
定义域是（0，+∞）
∴ 解集市（0,2）

Answer 2

f(x+6)－f(1/x)＜2
f(x^2+6x) < 2f(4)
f(x^2+6x) - f(4) < f(4)
f( (x^2+6x)/4 ) < f(4)
因为是增函数，所以

(x^2+6x)/4 < 4
x^2+6x - 16 < 0
所以 -8 < x < 2
因为 x ∈(0,+∞)
所以 0 < x < 2

Answer 3

f(m/n)=f(m)－f(n)，f(m)=f(m/n)+f(n)
取m=n=1,则f(1)=f(1)-f(1)=0
f(16/4)=f(16)-f(4),f(16)=2

f(x+6)－f(1/x)＜2 =f(16)
f[(x+6)x]<f(16)因为是增函数
xx+6x<16,解得-8<x<2
又，x+6>0,1/x>0,得出x>-6,x>0
综上0<x<2

Answer 4

f(4)=f(4/1)=f(4)-f(1),f(1)=0
f(x+6)-f(1/x)=f(x+6)-[f(1)-f(x)]=f(x+6)-f(1)+f(x)
=f(x+6)+f(x)<2=2f(4)

f(x)是增函数，所以x+6+x<2×4
x<2