Question

对任意的x∈[1，＋∞）,不等式x²+2x-a＞0恒成立。求实数a的取值范围。（恒成立问题转化为最值问题）

对任意的x∈[1，＋∞）,不等式x²+2x-a＞0恒成立。求实数a的取值范围。（恒成立问题转化为最值问题）

Answer 1

设函数f(x)=x²+2x-a
对称轴 x=-1,所以在[-1,+∞)上 f(x)是单调递增函数

对任意的x∈[1，＋∞）,不等式x²+2x-a＞0恒成立
即 f(1)>0 ，1+2-a>0
解得 a<3

实数a的取值范围为 a<3

Answer 2

x²+2x-a
=x²+2x+1-a-1
=(x+1)²-a-1
∵(x+1)²≥0
∴x²+2x-a=(x+1)²-a-1≥-a-1
又 ∵ x²+2x-a>0恒成立
∴-a-1≥0恒成立
即 a≤-1