Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为______．

Answer 1

（1）依题意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(?1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3?2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可视为平面区域

3?2a+b≤0 b≤0

内的点到原点的距离的平方，
由点到直线的距离公式得d²=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值为

9

5

．
故答案为：

9

5

．