Question

已知点P是抛物线y=14x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2，过点P的直线

已知点P是抛物线y=14x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2，过点P的直线交抛物线于P、Q两点，点M为线段PQ的中点．（1）猜想d1、d2的关系并证明；（2）如果线段PQ的长度为5，求点M到x轴的最短距离．

Answer 1

（1）猜想d₁=d₂．
证明如下：
设P（x₁，y₁）是抛物线上任一点
∴d₁=y₁=

x12

4

+1
而d₂=PF=

x12+(y1?2)2

=

4y1?4+(y1?2)2

=y₁
∴d₁=d₂．

（2）过M作MC垂直x轴，垂足为C，易得MC=

1

2

（PP₁+QQ₁）
由（1）证PP₁=PF，QQ₁=QF
∴MC=

1

2

（PP₁+QQ₁），
即要求PF+QF最小值
而PF+QF≥PQ，
故当P、F、Q三点共线时，PF+QF最小，且等于PQ．
所以MC最小值为

5

2

，
即M到x轴最短距离为

5

2

．