Question

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1（n∈N+）．若不等式λan+1≤n+8?

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1（n∈N+）．若不等式λan+1≤n+8?(?1)nn对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为______．

Answer 1

在a_n²=S_2n-1中，
令n=1，n=2，
得

a12＝S1 a22＝S3

，即

a12＝a1 (a1+d)2＝3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
a_n+1=2n+1．
①当n为偶数时，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8?(?1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n+8)(2n+1)

n

＝2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得，
∴此时λ需满足λ≤25；
②当n为奇数时，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8?(?1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n?8)(2n+1)

n

＝2n?

8

n

?15恒成立，
∵2n?

8

n

随n的增大而增大，
∴n=1时，2n?

8

n

取得最小值-6．
则λ≤-6-15=-21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ≤-21．
∴实数λ的最大值为-21．
故答案为：-21．