Question

已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）．（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）为R上

已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）．（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（2）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；（3）若函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，试求a的最大值．

Answer 1

（1）函数f（x）=e^x-ax²．则导数f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
∴函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程是y=x+1；
（2）函数f（x）为R上的单调递增函数即
导数f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
画出曲线y=e^x和直线y=2ax，即要求曲线恒在直线的上方．
设直线与曲线相切时的切点为（m，n），则n=2am，n=e^m，e^m=2a，
解得m=1，n=e，a=

e

2

，
由图象观察得a的范围是[0，

e

2

]；
（3）由题意可知，f（x）≥x+1恒成立，记F（x）=e^x-ax²-x-1，
即F（x）≥0恒成立，
若a＞0，则x＜-

1

a

＜0，F（x）＜1-x（ax+1）-1＜0，与F（x）≥0矛盾，
∴a≤0，F′（x）=e^x-2ax-1，
则x＞0时，F′（x）＞e⁰-1=0，x＜0时，F′（x）＜e⁰-1=0，
∴x=0为F（x）的最小值点，即最小值为0，即F（x）≥0恒成立，
故函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方，a的最大值为0．