Question

已知抛物线方程为x2=4y，过点M（0，2）作直线与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别作抛

已知抛物线方程为x2=4y，过点M（0，2）作直线与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点为P．（Ⅰ）求x1x2的值；（Ⅱ）求点P的纵坐标；（Ⅲ）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+2，与抛物线方程联立得x²-4kx-8=0，
△=16k²+32＞0，
∴x₁x₂=-8，
（Ⅱ）由导数的几何意义知过点A的切线斜率为

x1

2

，
∴切线方程为y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），①
同理过B的切线方程为y=

x2x

2

-

x 2 2

4

，②
由

x1x

2

-

x 2 1

4

=

x2x

2

-

x 2 2

4

，③
把③代入①得y=-2，
∴P的纵坐标为-2．
（Ⅲ）∵x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∵点P到直线AB的距离为d=

|2k2+4|

k2+1

，
线段AB的长度为|x₁-x₂|

1+k2

=

(x1+x2)2?4x1x2

?

1+k2

=4

k2+2

?

1+k2

，
S=

1

2

|2k2+4|

k2+1

?

4

k2+2

?

1+k2

=4（k²+2） 

3

2

≥8

2

．
当且仅当k=0时取等号，
∴三角形PAB面积最小值为8

2

．

Answer 2

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