Question

（2013?西陵区模拟）在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=23，点P是AB上一动点，（点P不与点A、点B重合

（2013?西陵区模拟）在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=23，点P是AB上一动点，（点P不与点A、点B重合），过点P作PQ∥AD交BD于Q，连结CQ，设AP的长为x，四边形QPBC的面积为y．（1）计算平行四边形ABCD的面积；（2）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；（3）是否存在实数x，使得S△BPQ=S△BCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：
解：（1）作DH⊥AB垂足为H，过Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，
∵sinA＝

DH

AD

＝

2

3

，
∴在Rt△ADH中，DH=AD?sinA=2，
∴S _□ABCD=AB?DH=5?2=10；

（2）∵PQ∥AD，
∴△BQP∽△BDA，
∴

PQ

AD

=

BP

AB

，

BP

AB

=

QR

DH

∴

PQ

3

=

5?x

5

，

5?x

5

=

QR

2

∴PQ=

3(5?x)

5

，QR=

2(5?x)

5

，
∴QK=2-

2(5?x)

5

=

2x

5

，
∴y=S_△BPQ+S_△BDC-S_△DQC=

1

2

?（5-x）?

2(5?x)

5

+

1

2

×10-

1

2

×5×

2x

5

，
y=

1

5

x²-3x+10（0＜x＜5）；

（3）不存在实数x，使得S_△BPQ=S_△BCQ，
理由是：假设存在x，使S_△BPQ=S_△BQC，
则

1

2

?（5-x）?

2(5?x)

5

=

1

2

×10-

1

2

×5×

2x

5

                                
解得  x₁=0或x₂=5                         
∵0＜x＜5，
∴不存在实数x，使S_△BPQ=S_△BCQ．