Question

已知平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且BM=CM,求证：ACD为矩形。

Answer 1

取BC中点N，连接MN，由于BM=CM，BN=CN，所以MN垂直于BC，又MN平行于AB和CD，故AB垂直于BC，CD垂直于BC，且ABCD为平行四边形，所以ABCD为矩形。

Answer 2

由BM=CM知，<MBC=<MCB。 （1）
又因为M为AD中点，所以AM=DM。
平行四边形的对变形等，即AB=CD
加上BM=CM，由边边边定理知，两个三角形（即三角形ABM和三角形CDM）全等.
因此<ABM=<DCM。 （2）
结合（1）（2）知，<ABC=<DCB，
又因为<ABC+<DCB=180度
所以，<ABC=<DCB=90度
所以四边形ABCD为矩形!

Answer 3

因为M是AD的中点，AM=DM
AB和CD是平行四边形ABCD的对边，所以，AB=CD
已知，BM=CM
所以，三角形ABM和三角形DCM全等
<A=<D
因为<A,<D是平行四边形ABCD的同旁边内角，它们的和为180°
所以，<A=<D=180°/2=90°
在平行四边形ABCD中，有一个角是直角
所以平行四边形ABCD是矩形

Answer 4

取BC中点N，连接MN
△BMC中，BM=CM
∴MN⊥BC，且MN∥AB
∠ABM=∠BMN
∵∠BMN+∠MBN=90°
∴∠ABM+∠MBN=90°
∴∠ABN=90°
平行四边形ABCD是矩形