Question

如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．

如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∠EPF=α，∠EQF=β，请探究α与β之间的关系，并说明理由．
(3)如图3，已∠BEQ=1/3∠BEP,∠DFQ=1/3
∠DFP,则∠EPF与∠EQF的关有什么关系，说明理由
（4）已知，∠BEQ=1/n∠BEP,∠DFQ=1/n∠DFP,则∠EPF与∠EQF有什么关系

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Answer 1

解：(1)证明：如图，作PG//AB.

因为AB//CD，所以PG//AB//CD.

所以∠1=∠AEP，∠2=∠CFP.

所以∠EPF=∠1＋∠2=∠AEP＋∠CFP.

(2)解：由(1)知∠EPF=∠AEP＋∠CFP，∠EQF=∠BEQ＋∠DFQ.

又因为∠PEQ=∠BEQ，∠PFQ=∠DFQ，

所以∠EPF＋∠EQF=∠AEQ＋∠CFQ.

容易验证∠AEQ＋∠CFQ＋∠EQF=360°，

所以∠EPF＋2∠EQF=360°.

(3)解：由(1)知∠EPF=∠AEP＋∠CFP，∠EQF=∠BEQ＋∠DFQ.

又因为∠PEQ=2∠BEQ，∠PFQ=2∠DFQ，

所以∠EPF＋2∠EQF=∠AEQ＋∠CFQ.

容易验证∠AEQ＋∠CFQ＋∠EQF=360°，

所以∠EPF＋3∠EQF=360°.即∠P＋3∠Q=360°.

(4)解：∠P＋n∠Q=360°.

Answer 2

1 ，过P点作AB平行线，然后就能看出来了。
2，由第一问知道 ∠AEP+∠CFP=∠EPF=α，则∠BEP+∠DFP=360°-α
又因为EQ，FQ分别是∠BEP,∠DFP的角平分线，所以∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)/2
又因为∠BEP+∠DFP=∠EQF=β, 所以有 360°-α=β/2 得α=180°-β/2

Answer 3

1、右侧EP，交CD于H
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠FHP
∵∠EPF=∠CFP+∠FHP
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP
即∠AEP+∠CFP=∠EPF
2、∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q
∴∠BEQ=1/2∠BEP=1/2(180°-∠AEP)=90°-1/2∠AEP
∠DFQ=1/2∠DFP=1/2(180°-∠CFP)=90°-1/2∠CFP
∵∠EQF=∠BEQ+∠DFQ
=90°-1/2∠AEP+90°-1/2∠CFP
=180°-1/2(∠AEP+∠CFP)
=180°-1/2∠EPF
∴β=180°-1/2α
3、∵∠BEQ=1/3∠BEP=1/3(180°-∠AEP)=60°-1/3∠AEP
∠DFQ=1/3∠DFP=1/3(180°-∠CFP)=60°-1/3∠CFP
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=120°-1/3(∠AEP+∠CFP)
∴∠EQF=120°-1/3∠EPF
4、∠BEQ=1/n∠BEP=1/n(180°-∠AEP)=180°/n -1/n∠AEP
∠DFQ=1/n∠DFP=1/n(180°-∠CFP)=180°/n -1/n∠CFP
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=360°/n -1/n(∠AEP+∠CFP)
∴∠EQF=360°/n-1/n ∠EPF

Answer 4

Answer 5