Question

一道数学题（在线提问）

已知不等式ax^2+bx+2>0的解为-1/2<x<1/3 设r>0, a不等于b， ,c=(a+ rb )/(1+r) 证明在数抽上c在a,b之间

Answer 1

ax^2+bx+2>0的解为-1/2<x<1/3等价于方程ax^2+bx+2=0的两根分别为-1/2和1/3，且a<0.
则由韦达定理
-1/2+1/3=-b/a
(-1/2)*(1/3)=2/a
所以解得a=-12,b=-2
则(c-a)(c-b)
=[(a+ rb )/(1+r)-a][(a+ rb )/(1+r)-b]
=r(b-a)(a-b)/(1+r)^2
=-(b-a)^2*r/(1+r)^2
=-(-2+12)^2*r/(1+r)^2
=-100*r/(1+r)^2
<0 (因为r>0，则r/(1+r)^2>0)
所以数轴上c在a,b之间。

评论一点：本题中的 “已知不等式ax^2+bx+2>0的解为-1/2<x<1/3”显得多余，仅凭后面条仍能证明：
(c-a)(c-b)
=[(a+ rb )/(1+r)-a][(a+ rb )/(1+r)-b]
=r(b-a)(a-b)/(1+r)^2
=-(b-a)^2*r/(1+r)^2
<0（因为a不等于b，(b-a)^2>0;因为r>0，则r/(1+r)^2>0）