Question

如图，AB为圆o的直径，C为圆上一点，CD垂直于AB于点D，连接AC,BC,求证CD2=AD*BD

Answer 1

角adc=角cdb=90度，
角cab=角bcd（等弧上圆周角相等 或同角的余角相等），
三角形adc相似于三角形cbd，
cd/bd=ad/cd ，
cd平方=ad乘以bd

Answer 2

因为AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴CD平方=AD*BD（射影定理）

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追问

这个射影定理好像初中没有啊、

追答

你们没学啊，现在的教材？
好吧，那就证三角形相似。
∵∠A=∠DCB（同角的余角相等），∠ADC=∠CDB=Rt∠
∴△ADC相似于△CDB
∴AD/DC=DC/DB
∴CD平方=AD*BD

Answer 3

引一条辅助线 oc，这因为AO=OC=OB，所以∠CAO=∠OCA,∠OBC=∠OCB，
∠COB=2∠OAC，三角形OBC内角相加=180，即2∠OAC+2∠OBC=180,
所以：∠OAC+∠OBC=90，即∠ACB=180-90=90，
根据勾股定理，CD2=AC2-AD2=BC2-BD2
则2*CD2=AC2-AD2+BC2-BD2
又AC2+BC2=AB2=(AD+DB)2
代入计算即2*CD2=2AD*DB，即CD2=AD*DB

Answer 4

很简单 c是直角，所以 角bcd = 角bac 推出 三角形adb和三角形bdc是相似三角形。
所以 ad:dc=dc:db

Answer 5

证明三角形BCD和三角形ACD相似。
用对应的三个角角度相等就能证明。
证明完后就能得到
BD：CD=CD：AD
然后移项就能得到AD*BD=CD²