Question

已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1/anan+1的前n项和为n/2n+1,求an

已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1/anan+1的前n项和为n/2n+1,求an

Answer 1

解：
设公差为d。
1/[ana(n+1)]有意义，数列中不含为0的项。
若d=0，则an=a1
1/[ana(n+1)]=1/an²
Sn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+...+1/[ana(n+1)]=n/an²=n/(2n+1)
an²=2n+1
an=√(2n+1)
a(n+1)-an=√(2n+3)-√(2n+1)，与n的取值有关，数列不是等差数列，与已知矛盾，因此公差d≠0
1/[ana(n+1)]=1/[an(an+d)]=(1/d)[1/an-1/a(n+1)]
Sn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+...+1/[ana(n+1)]
=(1/d)[1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/an-1/a(n+1)]
=(1/d)[1/a1-1/a(n+1)]
=(1/d)[1/a1-1/(a1+nd)]
=(1/d)(nd)/[a1(a1+nd)]
=n/(a1·d·n+a1²)
=n/(2n+1)
a1·d=2，a1²=1
a1>0，a1=1
d=2/a1=2/1=2
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1。

Answer 2

an=2n-1