Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE。

（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长。

（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G。
（3）若点E事AC边的动点，连接DF，当点E在AC边上(不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变？如果不变，请求出∠DFG的度数；如果改变，请说明理由。

Answer 1

1：DF长度=1.03  。

Answer 2

在rt∆ABE中，∵BF＝EF，∴BE＝2AF＝2×5＝10

AB²＝BE²－AE²＝10²－6²＝64，AC＝AB＝8，∵AE＝6，∴EC＝2

∵BD＝CD，BF＝EF，∴FD＝EC/2＝1

作CH⊥AC，交AG的延长线于H

易证：rt∆AFE∽rt∆ACH，FE∶CH＝AF∶AC，＝＞，CH＝AF×FE/AC

易证：rt∆AFE∽rt∆BAE，FE∶AE＝AF∶AB，＝＞，CE＝AE＝AF×FE/AB＝AF×FE/AC

∴CH＝CE

∠GCH＝∠HCA－∠BCA＝90°－45°＝45°＝∠GCE

GC＝GC

∴∆GDH≌∆GCE，得HG＝EG

易证：rt∆AHC≌rt∆BEA，获得AH＝BE，即AG＋EG＝BE

∠BFG＝90°＝∠ADG
∠FBG＝45°－∠ABE、∠DAG＝45°－∠FAE
∵∠ABE＝90°－∠BEA＝∠FAE，∴∠FBG＝∠DAG，且∠BFG＝90°＝∠ADG
∴rt∆BFG∽∆ADG

BD∶GD＝AD∶GD＝BF∶FG，因此DF是∠BEG的角平分线

∴∠DFB＝∠DFG＝90°/2＝45°