Question

设lim((xf(x)+ln(1-2x))/x^2)=4,则lim((f(x)-2)/x)=

设lim((xf(x)+ln(1-2x))/x^2)=4,则lim((f(x)-2)/x)=6 (这里x→0)
为什么不可以将ln(1-2x)用泰勒展开为-2x-4x^2+o(x^2)，则lim((xf(x)-2x-4x^2+o(x^2))/x^2)=lim((f(x)-2)/x)-4=4，则lim((f(x)-2)/x)=8 错在哪里？

Answer 1

这道题不用泰勒也可以做。洛必答一次即可。由于原题未说f(x)二阶可导，所以不方便二次使用洛必答。数学公式不方便输入，我上传图片吧：

Answer 2

当然可以，这也是最好的做法，问题是你用泰勒展开展错了。ln(1-2x)=-2x-2x^2+o(x^2).

Answer 3

你的泰勒展开有问题，
ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n
带入有
ln(1-2x)=-2x-(-2x)^2/2+o(x^2)=-2x-2x^2+o(x^2).
lim((xf(x)-2x-2x^2+o(x^2))/x^2)=lim((f(x)-2)/x)-2=4.
lim((f(x)-2)/x)=6

追问

谢谢，我发现了。
另外请问ln(1+ax) 可以直接套用ln(1+x)的泰勒展开式吗？那么ln(1+x^m) 可以直接套用ln(1+x)的泰勒展开式吗？
谢谢

追答

从上述这个式子，出发，由于ax是线性的，所以可以直接带入可以，但是x^m非线性，所以不能直接带入。

Answer 4

我算了几次都是4，大佬解答下呗