求解微积分题目 10
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换元，t=arcsin x
原式=∫t²dsint=t²sint-∫sintdt²=t²sint+2∫tdcost=t²sint+2(tcost-∫costdt)
=sint(t²-2)+2tcost
最后把t换回arcsinx
原式=∫t²dsint=t²sint-∫sintdt²=t²sint+2∫tdcost=t²sint+2(tcost-∫costdt)
=sint(t²-2)+2tcost
最后把t换回arcsinx
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设 α = arcsinx，则 x = sinα，dx = cosα * dα
那么，上面的积分可以变换为：
=∫α² * cosα * dα
=α² * sinα - ∫2α *dα * sinα
=α² * sinα - 2∫α * sinα * dα
=α² * sinα - 2[α * (-cosα) - ∫dα * (-cosα)]
=α²sinα + 2αcosα - 2∫cosα*dα
=α²sinα + 2αcosα - 2sinα + C
=x(arcsinx)² + 2(arcsinx)*√(1-x²) - 2x + C
那么，上面的积分可以变换为：
=∫α² * cosα * dα
=α² * sinα - ∫2α *dα * sinα
=α² * sinα - 2∫α * sinα * dα
=α² * sinα - 2[α * (-cosα) - ∫dα * (-cosα)]
=α²sinα + 2αcosα - 2∫cosα*dα
=α²sinα + 2αcosα - 2sinα + C
=x(arcsinx)² + 2(arcsinx)*√(1-x²) - 2x + C
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