Question

设函数f(x)=ax²+bx+1

已知函数f（X）=ax2+bx+1，F（x）=f（x），x大于0时
=-f（x），x小于零时
(1)若f(-1)=0,且对任意实数 X均有f(x)大于等于0，求f(x)的表达式
（2）在(1）的条件下，当x属于[-2.2]时，g(x)=f(x)-kx总是单调函数，求实数k的范围
（3）设m大于零，n小于零，m+n大于零，a大于零且f（x）为偶函数。
判断F（m）+（n）能否大于零

Answer 1

解：（1）f(-1)=0,a-b+1=0即a=b-1;
对任意实数 X均有f(x)大于等于0，即x∈R,f(x)>=0,则
a>0
4a-b^2/4a>=0 推出4a-b^2>=0即-2√a<=b<=2√a即
-2√a-1<=b-1<=2√a-1即
-2√a-1<=a 这个恒成立；
a<=2√a-1 （√a-1)^2 <=0 推出a=1;
所以b=2;
f(x)的表达式:f(x)=x^2+2x+1;
(2) 由已知可得g(x)=f(x)-kx=x^2+(2-k)x+1,开口向上，对称轴为(k-2)/2
要使当x属于[-2.2]时，g(x)总是单调函数,则
当(k-2)/2>=2时，即k>=6,g(x)总是单调递减函数
当(k-2)/2<=-2时，即k<=-2,g(x)总是单调递增函数；
所以实数k的范围k>=6或k<=-2；
（3）因为a大于零且f（x）为偶函数,函数关于y轴对称，即
x>0,f(x)是单调递增函数；
x<0,f(x)是单调递减函数；
f(x)=f(-x);
因为m>0,n<0,m+n>0,所以-n>0,m>-n;
x>0,f(x)是单调递增函数,所以地f(m)>f(-n);
令T=F(m)+F(n）=f(m)-f(n)=f(m)-f(-n)>0;
所以F(m)+F(n）能大于零