Question

函数 f(x)=x/(3-x) 展开成x的幂级数

Answer 1

-1/3-x/9-x^2/27-x^3/81-...

f(x)=-1/3*1/(1-x/3)

=-1/3*[1+x/3+x^2/9+x^3/27+x^4/81+.....]

=-1/3-x/9-x^2/27-x^3/81-...

收敛域为|x|<3

柯西准则

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

Answer 2

f(x)=-1/3*1/(1-x/3)
=-1/3*[1+x/3+x^2/9+x^3/27+x^4/81+.....]
=-1/3-x/9-x^2/27-x^3/81-...
收敛域为|x|<3