Question

定积分在物理中的应用

1 有一圆柱形贮水桶 高2m 底圆半径为0.8m 桶内装1m深的水 试问要将桶内水全部吸出要作多少功
2 一个横放着的半径为R的圆柱形油桶 桶内盛有半桶油 设油的密度为p 计算桶的一个端面上所受的压力
3 一物体以速度v=3t2+2t(m/s)作直线运动 计算它在t=0到t=3s这一段时间内的平均速度
都是定积分在物理中的应用

Answer 1

1、这个问题不太严谨，如果用虹吸原理来把水全部吸出，是可以不做功甚至水对外做功的。
如果不考虑虹吸原理，把所有水提升到桶上沿高度，则根据重心由距离桶底0.5m，提升到2m，则需要做功mgΔH=ρπr²hgΔH=1000π*0.8²*1*9.8*1.5=3.0*10^4焦耳
用积分形式则为：W=∫(1,2)ρπr²HgdH结果是一样的。
2、以液面处，即圆心所在平面为参考面，深度为h处的液体压强为p=ρgh，在h深度处，油液水面截面的宽度为√(R²-h²)，则端面上的压力为：
F=∫pds=∫(0,R)ρgh√(R²-h²)dh=ρgR³/3
3、平均速度V=Δs/Δt
Δs=∫(0,3)vdt=∫(0,3)(3t²+2t)dt=t³+t² |(0,3)=36
V=Δs/Δt=36/3=12m/s

Answer 2

一圆柱形的水桶 高为2m底面为半径为0.8m桶内装1m深的水,要将水全部吸出做多少功

数学
hdny9922014-10-08

优质解答
这个要用微积分中的定积分做的
设ΔV=πR²Δy
w总=∫1(上限)0(下限) ρg（y+1）πR²Δy
=∫1(上限)0(下限) ρg（y+1）πR² dy
= ρgπR²（y²/2+1）|1(上限)0(下限)
代入数据（g取9.8）
w总=1X(10^3)×9.8×π×（0.8^2）×（1/2+1）焦耳=2.9556*10^4焦耳

Answer 3