Question

很难的数学题

如图，三角形ABC的角A的平分线为AD，M为BC的中点，AD平行ME，求征：BE=CF=二分之一（AB+AC)

Answer 1

解：题目本身不难,关键是做好辅助线，把已知的条件都调动起来。

方法（1），函数法

  ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC

   ∵EM‖AD  ∴∠BEM=∠BAD，∠DAC=∠AFE

   ∴∠BEM=∠AFE，AE=AF------①

  根据正弦定理，△BEM中，BE/sin∠BME=BM/sin∠BEM

   △FMC中，CF/sin∠FMC=MC/sin∠MFC

 ∵BM=MC，sin∠MFC=sin∠AFE，并结合①

   ∴BE/sin∠BME=CF/sin∠FMC

   ∵sin∠BME=sin∠FMC

    ∴BE=CF

  AB+AC=AB+（AF+FC）=（AB+AE）+FC=BE+FC=2BE

   ∴BE=CF=½（AB+AC）

方法（2），纯几何证明。

  如图，作BG⊥EM，CH⊥EM，垂足分别为G、H。

  ∵BM=MC     -----①

 AAS ∴△BGM≌△HMC， BG=HC

  ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC

   ∵EM‖AD  ∴∠BEM=∠BAD，∠DAC=∠AFE

   ∴∠BEG=∠AFE=∠HFC，AE=AF。

  AAS ∴△BEG≌△HFC， BE=FC

  AB+AC=AB+（AF+FC）=（AB+AE）+FC=BE+FC=2BE

   ∴BE=CF=½（AB+AC）