Question

请教齐次微分方程求解已知齐次线性方程x^2y'

Answer 1

已知该方程的齐次方程通解为y=Cx+Cxlnx,求非齐次线性方程x^2y"-xy'+y=x的通解

解：
将所给方程写成标准形式y''-y'/x+y/x^2=1/x
使用常数变易法,设y=xu1+xlnxu2
按照xu1'+xlnxu2'=0①
u1'+(lnx+1)u2'=1/x②
解得u1'=-lnx/x,u2'=1/x
即u1=-1/2(lnx)^2+C1,u2=lnx+C2
所以非齐次方程的通解为
y=[-1/2(lnx)^2+C1]x+(lnx+C2)xlnx
=1/2x(lnx)^2+C1x+C2xlnx
有关常数变易法：详见同济六版高等数学P328

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