Question

已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根

已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5，问k取何值时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer 1

1楼的答案有问题，
解:设AB=a,AC=b
所以a+b=2k+3
ab=k^2+3k+2
所以a^2+b^2=(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=2k^2+6k+5
因为BC为斜边
所以，a^2+b^2=c^2
所以，2k^2+6k+5=25
所以，k=2或k=-5
因为a+b>0,所以k>-3/2
所以k=2

Answer 2

∵|向量AB|，|向量AC|是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根
∴由韦达定理得：|向量AB|+|向量AC|=2k+3
|向量AB|×|向量AC|=k^2+3k+2
∵要使△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴向量AB×向量AC=0
∴由直角三角形的性质得：
|向量AB|^2+|向量AC|^2=|向量BC|^2
∵|向量AB|^2+|向量AC|^2=(|向量AB|+|向量AC|)^2-2(向量AB）×（向量AC）=（|向量AB|+|向量AC|）^2
∴(|向量AB|+|向量AC|）^2=|向量BC|^2
(2k+3)^2=5^2
解得：k=-4或k=1
又∵|AB|+|AC|=2k+3＞0
∴k＞-3/2
∴k=1
即k=1时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形