Question

已知三角形abc的两边ab，ac的长是关于x的一元二次方程x²-（2x+3）x+k²+3k+2=0

已知三角形abc的两边ab，ac的长是关于x的一元二次方程x²-（2x+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边bc的长为5.
（1）当k为何值时三角形abc是直角三角形
（2）当k为何值时三角形abc是等腰三角形，并求出此时三角形的周长

Answer 1

x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0

x²-(2k+3)x+(k+1)(k+2)=0
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0
x=k+1或x=k+2
(1)三角形为直角三角形，则分析三种情况：
一、
(k+1)^2+(k+2)^2=5^2
k^2+2k+1+k^2+4k+4=25
2k^2+6k-20=0
k^2+3k-10=0
(k+5)(k-2)=0
k=-5或k=2
当k=-5时，k+1=-4不合理，舍，所以k=2。
二、
(k+1)^2+5^2=(k+2)^2
k^2+2k+1+25=k^2+4k+4
2k+26=4k+4
-2k=-22
k=11
当k=11时，三边的长分别为：11+1=12,11+2=13,5
三、
(k+2)^2+5^2=(k+1)^2
k^2+4k+4+25=k^2+2k+1
4k+29=2k+1
2k=-28
k=-14
当k=-14时，k+1=-13，不合理，舍。
所以当三角形为直角三角形时，k=2或者k=11
(2)当三角形为等三角形时，也分析三种情况：
一、
k+1=k+2,舍
二、
k+1=5,k=4
三、
k+2=5,k=3
所以当三角形为等腰三角形时，k=3或者k=4,周长为：4+5+5=14或者5+6+5=16