Question

已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边的长为5.

已知三角形ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根,第三边的长为5.
当k为何值时，三角形ABC是直角三角形？

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

Δ=(2K+3)^2-4(K^2+3K+2)=1>0
方程一定有两个不相等的实数根。
AB+AC=2K+3，AB*AC=K^2+3K+2
⑴当BC为斜边时，
AB^2+AC^2
=(AB+AC)^2-2AB*AC
=(2K+3)^2-2(K^2+3K+2)
=2K^2+6K+5
令AB^2+AC^2=BC^2=25得
2K^2+6K-20=0
K^2+3K-10=0
(K+5)(K-2)=0
K=-5或2。
即K=-5或2时，ΔABC是直角三角形。
⑵X=［(2K+3)±1］/2
得X=K+2或K+1，
当K+2为斜边时，
(K+2)^2=(K+1)^2+25
K=11，
∴当K=-5、2、11时ΔABC为直角三角形。

Answer 2

郭敦顒回答：
当k=2时，∵x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0，
∴有方程x^2-7x+12=0，∴（x－3）（x－4）=0
∴x1=3，X2=4。
∴三角形ABC的两边AB=3，AC=4（或AB=4，AC=3）。
又第三边BC=5，
∴三角形的三边之比为3：4：5，则此三角形为直角三角形，因
3²+4²=5²。

Answer 3

解：x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0

【x-(k+1)】【x-(k+2)】=0
所以x1=k+1,x2=k+2
1)若长是5的第三边是斜边
则（k+1)²+(k+2)²=25
k²+2k+1+k²+4k+4=25
2k²+6k-20=0
k²+3k-10=0
(k+5)(k-3)=0
k1=-5(舍去，因为k+1需大于0）。k2=3
2)若长是k+2的第三边是斜边
则（k+1)²+25=(k+2)²
k²+2k+1+25=k²+4k+4
22=2k
k=11
所以当k为3或11时，三角形ABC是直角三角形

Answer 4

解：设三角形三边长分别为 AB=c,AC=b,BC=a,
依题意 b+c=2k+3, bc=k^2+3k+2, a=5
由余弦定理，有
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=[(b+c)^2-2bc-a^2]/(2bc)
=(2k^2+6k-20)/(k^2+3K+2)
若A=90度，则三角形ABC是直角三角形
此时，cosA=0,即
2k^2+6k-20=0，解得 k=2或-5