Question

已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根

已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5。问k取何值时，三角形ABC是等腰三角形，并求三角形的周长？

Answer 1

x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0
(x-k-2)(x-k-1)=0
x1=k+2 x2=k+1
不妨设AB=x1=k+2 AC=x2=k+1
显然AB≠AC
1.若AC=BC 则k+1=5 k=4
周长=AC+BC+AB=5+k+2+k+1=2k+8=2*4+8=16
2.若AB=BC, 则k+2=5 k=3
周长=2k+8=2*3+8=14

Answer 2

一元二次方程的判别式
△＝(2k+3)＾2－4（k^2+3k+2）＝1
方程的两个根为x1=[(2k+3)＋1]/2，x2=[(2k+3)－1]/2
若AB＝AC无解，因为判别式等于0。
可见当x1=[(2k+3)＋1]/2＝5时，k=3，x2=4，周长为2＊5＋4＝14
可见当x2=[(2k+3)－1]/2＝5时，k=4，x1=6，周长为2＊5＋6＝16

Answer 3

解这个一元二次方程得X1=K+2，X2=K+1，当K=3时，X1=5，X2=4，这时此三角形是等腰三角形，周长为14；当K=4时，X1=6，X2=5，这个三角形也是等腰三角形，周长为16

Answer 4

根据一元二次方程求解的一般公式，其两个实数根为：
{-[-(2k+3)]±√{[-(2k+3)]^2-4(k^2+3k+2)}}/2
=k+1 或 K+2
△ABC是等腰△，当且仅当k+1=5或k+2=5（注k+1≠k+2），即k=4或3
k=4时，三条边为5、5、6，周长=16
k=3时，三条边为5、5、4，周长=14

Answer 5

由题意AB,AC=k+1,k+2
当k+1=5时,k=4,k+2=6, 5,5,6可以构成三角形,周长16
当k+2=5时,k=3, k+1=4 4,5,5可以构成三角形，周长14