Question

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-（2k+3）x+k^2+3k+2=0的两

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-（2k+3）x+k^2+3k+2=0的两个实根．第三边BC长为5.k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求周长。

Answer 1

解：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，
即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或-5（舍去负数）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，
∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4；∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．

Answer 2

x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0
△=（2k+3)²-4k²-12k-8
=4k²+12k+9-4k²-12k-8
=1
因为:△=1>0
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，即AB≠AC。
那么要△ABC为等腰三角形，AB，AC中必有一个为5，所以，
25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，k²-7k+12=0.
(k-3)(k-4)=0，k1=3，k2=4。
即，当k=3或4时，△ABC为等腰三角形。