Question

高一的数学题

设函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0)满足：f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立。
（1）求实数a,b得知
（2）当x∈[-2,2]时，求函数p(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)与最小值h(t)

要详细的步骤和标准的格式！！！好的加分

Answer 1

(1)∵f(-1)=0 ∴a+b+1=0
∵f(x)≥0 ∴Δ≤0且a＞0
∴(-a-1)²-4a≤0且a＞0
∴a=1且b=-2
(2)1.当t＜-2时 p(x)在[-2,2]上递增
g(t)=p(2)=5-4t
h(t)=p(-2)=5+2t
2.当-2≤t≤2时 h(t)=p(t)=-t²+1
(1) 当-2≤t≤0时 g(t)=p(2)=5-4t
(2) 当0＜t≤2时 g(t)=p(-2)=5+4t
3.当t＞2时 p(x)在[-2,2]上递减
g(t)=p(-2)=5+4t
h(t)=p(2)=5-4t

Answer 2

解：
1、f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）)≥0恒成立，
所以可知有：
a-b+1=0，
则b=a+1
△=b^2-4a≤0。
所以a>0
则代入得
a^2+1-2a≤0
则a=1时才成立。此时有b=2.
所以f(x)＝x^2+2x+1
2、
函数f（x）＝x＾2+2tx+1可转化为：f（x）＝（x-t)^2+t^2+1；
当t属于【-2,2】时,f(x)max=t^2+1,f(x)min=-t^2+1；
当t属于【2，+∞】时，f(x)max=-2t ,f(x)min=2t；
而当t属于【-∞，-2】时，f(x)max=2t ,f(x)min=-2t

Answer 3

(1)由题意知, a>0
f(-1)=a-b+1=0
f'(-1) -2a+b=0
a = 1, b = 2
(2)p(x)= x² + 2tx + 1
p'(x) = 2x + 2t ∈ [2t-4,2t+4]
讨论t的取值
1.若 2t+4 =< 0 p(x)在[-2,2]上为减函数
g(t)=p(-2) h(t)=p(2)
2.若 2t-4 >= 0 p(x)在[-2,2]上为增函数
g(t)=p(2) h(t)=p(-2)
3.若 2t-4 < 0 < 2t+4, -2 < t < 2 当p'(x)=0 即 x=-t
h(t)=p(-t)
当t>=0时, g(t)=p(2)
当t<0时，g(t)=p(-2)

Answer 4

1.f(-1)=a-b+1=0
要求f(x)>=0恒成立
只要a>0且△=b²-4a<=0即可
把b=a+1代入得
(a+1)²-4a=(a-1)²<=0
a-1=0
a=1
b=2
2.p(x)=x²+2tx+1=(x+t)²+1-t²
当-2=<t<=0时
x=-t时最小为h(t)=p(-t)=1-t² 最大为g(t)=p(-2)=(-2+t)²+1-t²=5-4t
当0=<t<=2时
x=-t时最小为h(t)=p(-t)=1-t² 最大为g(t)=p(2)=5+4t
当t>2时
x=-2时最小为h(t)=p(-2)=5-4t 最大为g(t)=p(2)=5+4t
当t<-2时
x=2时最小为h(t)=p(2)=5+4t 最大为g(t)=p(-2)=5-4t
综合起来
当-2=<t<=2时 h(t)=1-t² g(t)=5+4│t│
当t>2或t<-2时 h(t)=5-4│t│ g(t)=5+4│t│