Question

已知二次函数y=x*x+ax+a-2. （1）求证：不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点. （2）设a小于0，当

已知二次函数y=x*x+ax+a-2.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点.
（2）设a小于0，当此函数图像与x 轴的两个交点的距离为根号13时，求出此二次函数的解析式.
（3）若此二次函数图像与x轴交于A、B两点，在函数图像上是否存在点P，使得△PAB的面积为2分之（3乘根号13）？若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由.

Answer 1

(1)若函数y=x2+ax+a-2与x轴相交，即得方程x2+ax+a-2=0，只要此方程恒有两个不等实数根，问题即得证：
由判别式得：a2-4(a-2）=(a-2)2+4《(a-2)2为（a-2）的平方》
因为：(a-2)2>0 所以(a-2)2+4>4
即：a2-4(a-2）恒大于0
所以：不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点。

（2）若a<0时，设m、n是方程x2+ax+a-2=0的两个根，据韦达定理有：
m+n=-a mn=a-2
又因为：|m-n|=根号13 所以（m-n)2=13 即有：（m+n)2-4mn=13
故得方程：（-a)2-4(a-2)=13
解此关于a的方程得：a=5(不符合题意舍去）或a=-3 所以所求解析式为：
y=x2-3x-5
（3）设函数 y=x2-3x-5存在点P，故设其坐标为（x,y)
又因为：|AB|=根号13，且S△PAB=|AB|.|y|=3倍根号13
所以得方程：根号13|y|=3倍根号13
即：|y|=3 解此方程得：y1=3 ,y2=-3(因为y的最小值为-41/4，故y2=-3有意义）
然后把y1=3 ,y2=-3分别代入函数解析式y=x2-3x-5中，求得横坐标：
当y1=3时有方程：x2-3x-5=3 解得x1=(3+根号41)/2 ,x2=(3-根号41)/2
当y2=-3时由方程：x2-3x-5=3 解得x3==(3+根号17)/2 ,x4==(3-根号17)/2
所以，所求点P有四个点，起坐标分别为：
P1((3+根号41)/2,3)
P2(=(3-根号41)/2,3)
P3((3+根号17)/2,-3)
P3((3-根号17)/2,-3)

Answer 2

（1）b^2-4ac>0
a^-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4>0
所以不论a为何实数，此函数图像与x轴总有两个交点.