Question

已知二次函数y=x2+ax+a-2，（1）求证：无论a取什么实数，二次函数的图象都与x轴相交于两个不同的点；（2

已知二次函数y=x2+ax+a-2，（1）求证：无论a取什么实数，二次函数的图象都与x轴相交于两个不同的点；（2）求a为何值时，使得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离最小；（3）若方程x2+ax+a-2=0的两根都大于-2小于2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：令y=0，得x²+ax+a-2=0
∵△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．


（2）解：设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∵y=x²+ax+a-2是二次函数，
∴二次函数与x轴两交点的距离|x₁-x₂|=

△

=

(a?2)2+4

，
当且仅当a-2=0，即a=2时，|x₁-x₂|有最小值．

（3）解：根据二次函数y=y=x²+ax+a-2的图象和题设条件知：
当x=-2时，x²+ax+a-2＞0，有a＜2；①
当x=2时，x²+ax+a-2＞0，有a＞-

2

3

．②
因抛物线顶点的横坐标-

a

2

满足-2＜-

a

2

＜2，
则-4＜a＜4．③
所以a的取值范围为-

2

3

＜a＜2．