Question

已知抛物线y=x 2 +ax+a-3（1）求证：不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点．（2）当a=5时，求抛物线与x

已知抛物线y=x 2 +ax+a-3（1）求证：不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点．（2）当a=5时，求抛物线与x轴的两个交点间的距离．（3）直接写出a=______ 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小．

Answer 1

（1）证明：∵△=a 2 -4（a-3）=（a-2） 2 +8＞0， ∴不论a取何值，抛物线与x轴总有两个交点； （2）当a=5时，求抛物线为y=x 2 +5x+2， 设抛物线与x轴两交点横坐标为x 1 ，x 2 ， 则x 1 +x 2 =-5，x 1 x 2 =2， ∴|x 1 -x 2 |= ( x 1 - x 2 )  2 = ( x 1 + x 2 )  2 -4 x 1 x 2 = 25-8 = 17 ， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为 17 ； （3）∵x 1 +x 2 =-a，x 1 x 2 =a-3， ∴|x 1 -x 2 |= ( x 1 - x 2 )  2 = ( x 1 + x 2 )  2 -4 x 1 x 2 =   a 2 -4a+12    = (a-2 ) 2 +8 ， ∴a=2抛物线与x轴的两个交点间的距离最小， 故答案是2．