Question

概率问题：

甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军。若每次比赛双方取胜的几率都为1/2，现假定甲乙两人先比，则各人获得冠军的概率是多少？

Answer 1

注意到当第一场比赛结果确定后，以后任一场比赛，要么得出冠军结束比赛，要么是明确参赛两人的下一场比赛。
先计算甲赢的概率。 甲连赢获得冠军的可能性是：
a) 设甲赢 第1场:
甲连赢 第 1，2 场； --- 概率为 1/4
甲连赢 第 4，5 场； --- 概率为 1/4 × 1/2^3

...
甲连赢 第 3n+1，3n+2 场； --- 概率为 1/4 × 1/2^(3n)

...

a) 设乙赢 第1场:

甲连赢 第 3，4 场；概率为 1/4 × 1/2^2
甲连赢 第 6，7 场；概率为 1/4 × 1/2^5

...
甲连赢 第 3n，3n+1 场； --- 概率为 1/4 × 1/2^(3n-1)
...

把这些概率全部相加：

1/4 + 1/4 × 1/2^3 + 。。。+ 1/4 × 1/2^(3n) + 。。。
＋ 1/4 × 1/2^2 ＋ 1/4 × 1/2^5 ＋ ．．．＋1/4 × 1/2^(3n-1) ＋．．．
＝ （1／4＋1／16）（1 ＋ 1／8 ＋ ．．．＋1／8＾n＋．．．）
＝ 5／16 ＊ 1／（1－1／8）
＝ 5／16＊ 8／7 ＝ 5／14

乙与甲的取胜的情形完全对称， 所以赢的概率一样 也是 5／14.
丙赢的概率 ＝ 1 － 5／14 － 5／14 ＝ 2／7