Question

曲面积分和二重积分有什么区别

Answer 1

设∑为光滑曲面，函数f(x,y,z)在∑上有界，把∑任意地分成n个小曲面ΔS,在每个小曲面ΔSi上任取一点(Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS，并求和∑f(Xi,Yi,Zi)dS ，记λ=max(ΔS的直径) ， 若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在，且极限值与∑的分法及（Xi,Yi,Zi）在∑上的取法无关，则称极限值为f（x,y,z）在∑上对面积的曲面积分。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 ∑(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分。

简单地说，曲面积分与曲面的偏导密切相关，而二重积分则与二元函数的函数值密切相关。个人理解，仅供参考~~