Question

(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x,求x,请教～

如题，我用(x^2-3x+1）=x,得出x=2+-√3,但我确一直困惑于自己的方法，但我用计算器带入是正确的，我刚开始想的是令（x^2-3x+1)=X,得出X^2-3X+1=X,这时X=2+-√3，但是我觉得应该再算X=2+-√3=x^2-3x+1才得出的x是所求的x啊？？ 请数学朋友帮忙理清一下！～

Answer 1

令y=x^2-3x+1,则原方程即
y^2-3y+1=x, (1)
x^2-3x+1=y. (2)

(2)-(1)得
(x^2-y^2)-3(x-y)=y-x.
即
(x-y)(x+y-2)=0.
则
x-y=0, (3)
或 x+y-2=0. (4)

当x-y=0时,y=x,代入(1)得
x^2-3x+1=x.
即
x^2-4x+1=0.
解得
x1=2+根号(3),
x2=2-根号(3).

当x+y-2=0时,y=2-x,代入(2)得
x^2-3x+1=2-x.
即
x^2-2x-1=0.
解得
x3=1+根号(2),
x4=1-根号(2).

故原方程的根为
x1=2+根号(3),
x2=2-根号(3),
x3=1+根号(2),
x4=1-根号(2).

Answer 2

设f(x)=x^2-3x+1,若f(x)=x,则f[f(x)]=f(x)=x.
x^2-3x+1=x的根x=2土√3，是原方程的根。
原方程化为（x^2-4x+1)(x^2+2x-2)=0,
另两根是-1土√3.