Question

有关矩阵的证明题

“证明对任意的n阶方阵A,存在一个对称矩阵B及一个反对称矩阵C,使得A=B+C，且这种分解是惟一的。”其中的那个“且这种分解是惟一的”怎么证明？

Answer 1

唯一性：
若有两种形式
即 A = B + C B对称 C反对称
A = F + G F对称 G反对称

所以有 A'代表A转置

A' = B' + C' = B - C
A' = F' + G' = F - G

由上有
F + G = B + C
F - G = B - C

两式相加有 2F=2B，F=B
再进一步得到 G = C

所以得证。