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设y=y(x)由方程xe^f(y)=e^y确定f(x)二阶导 5
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解:原式=2e^y*y'+xe^y*(y')^2+xe^y*y''+y''
=-y'*(xy'+2)/[x+e^(-y)]
=(xy'+2)/[x+e^(-y)]^2
=[x+2e^(-y)]/[x+e^(-y)]
=(xe^y+2)/(xe^y+1)
=1+1/(xe^y+1)
=1+1/(2-y)
=d^2y/dx^2
=1+1/(2-y)
扩展资料
二阶导数的性质:
函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数,则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有:a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中,即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)
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方程两边对x求导
e^y+xe^y*y'+y'=0
所以y'=(-e^y)/(xe^y+1)=-1/[x+e^(-y)]
再次对方程两边的x求导
2e^y*y'+xe^y*(y')^2+xe^y*y''+y''=0
y''=-y'*(xy'+2)/[x+e^(-y)]
=(xy'+2)/[x+e^(-y)]^2
=[x+2e^(-y)]/[x+e^(-y)]
=(xe^y+2)/(xe^y+1)
=1+1/(xe^y+1)
=1+1/(2-y)
即d^2y/dx^2=1+1/(2-y)
e^y+xe^y*y'+y'=0
所以y'=(-e^y)/(xe^y+1)=-1/[x+e^(-y)]
再次对方程两边的x求导
2e^y*y'+xe^y*(y')^2+xe^y*y''+y''=0
y''=-y'*(xy'+2)/[x+e^(-y)]
=(xy'+2)/[x+e^(-y)]^2
=[x+2e^(-y)]/[x+e^(-y)]
=(xe^y+2)/(xe^y+1)
=1+1/(xe^y+1)
=1+1/(2-y)
即d^2y/dx^2=1+1/(2-y)
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