Question

数列极限存在必有界，怎么证明？求过程，用数学语言写一下谢谢～

数列极限存在必有界，怎么证明？求过程，用数学语言写一下谢谢～如题

Answer 1

单调递增数列而且有上界2，故极限存在。

lim（n→∞）xn=2

设极限为a

x(n+1)=√（2+xn）

两边取极限得到

a^2-a-2=0

a=2

假设{An}收敛到A，则由定义，存在 N > 0，使得对任意 n > N 时有 |An - A| <= 1。故 |An| = |An - A + A| <= |An - A| + |A| <= 1 + |A|，对任意 n > N 成立。故显然{An}有界。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

我数学符号不知怎么输入，所以就用语言描述吧，你自己转成数学符号。

假设{An}收敛到A，则由定义，存在 N > 0，使得对任意 n > N 时有 |An - A| <= 1。故 |An| = |An - A + A| <= |An - A| + |A| <= 1 + |A|，对任意 n > N 成立。

故显然{An}有界。

Answer 3

用数列极限的定义加不等式关系，找到上界