Question

数学第24题

Answer 1

（1）AD=√(AC²+CD²)=√(4²+8²)=4√5
又，易知△MAP∽△CAD 所以 AM/AC=AP/AD 即 AM/4=x/4√5 得 AM=x/√5
（2）CQ=2PC 则 CQ/PC=2=CD/AC 所以 △PCQ∽△ACD 得∠PQC=∠ADC 得PQ∥AD 得 ∠MPQ=∠PMA=90°
（3）①⊙O与CD相切，即切点为Q，即∠NQD=90°，即NQ/QD=1/2，这时NM=AM=x/√5
连接PN，则PN=PA=x；连接PQ交⊙O于点B，连接NB，则直径所对的∠NBQ=90° 知MNBP是矩形。连接MB，则矩形对角线MB、NP的交点为E是MB的中点，连接EO，则EO是△NPQ的中位线。因为PQ∥AD，NQ∥AC，所以易知∠NQP=∠NPQ，所以NQ=NP=AP，所以APQN是平行四边形，PQ=AN=2AM=2x/√5。又△APM∽△QPC，所以AM/PC=AP/PQ
即 (x/√5)/(4-x)=x/(2x/√5) 得 2x²/5=4x-x²，x>0约去得 7x=20 得 x=20/7
②其实，易知PM=2x/√5。连接IQ交NB于点F，有∠NIF=∠NIQ=90°，由NI=1知IF=1/2得斜边NF=√5/2。PC=4-x 则 CQ=2(4-x) 则 PQ=√5(4-x) 由NF/PQ=IF/IP 即 (√5/2)/[2(4-x)]=(1/2)/(x-1) 得 x=(8+√5)/(2+√5)