若实数xyz满足x+2y+3z=1，x^2+4y^2+9z^2=1，则z的最小值为？
2个回答
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楼上用拉格朗日乘数法解答错误！
现用初等数学方法验证一下:
依约束条件得
x+2y=1-3z且x²+4y²=1-9z².
故依柯西不等式得
(1²+1²)[x²+(2y)²]≥(x+2y)²
∴2(1-9z²)≥(1-3z)²
解得，-1/9≤z≤1/3。
可见，
z最大值为1/3，此时x=0，y=0；
z最小值为-1/9，此时x=2/3，y=1/3。
现用初等数学方法验证一下:
依约束条件得
x+2y=1-3z且x²+4y²=1-9z².
故依柯西不等式得
(1²+1²)[x²+(2y)²]≥(x+2y)²
∴2(1-9z²)≥(1-3z)²
解得，-1/9≤z≤1/3。
可见，
z最大值为1/3，此时x=0，y=0；
z最小值为-1/9，此时x=2/3，y=1/3。
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