Question

高中数学导数题

高中数学导数题已知a＞0且a≠1，函数f(x)=a^x与g(x)=log以a为底x的对数，有且仅有一条公共切线y=x，求a的值

Answer 1

约定:[ ]内是对数的底数

f(x)与g(x)的图象关于y=x对称且仅有一条公切线
则a>1,其取值就是y=a^x图象与y=x相切时a的值.
设切点(t,a^t)
f'(x)=a^xlna,f'(t)=a^tlna
得a^tlna=1 (1)
切线方程:y-a^t=a^tlna(x-t)
它过(0,0),0-a^t=a^tlna(0-t)
t·lna=1 (2)
(1)两边取对数: t·lna+ln(lna)=0
1+ln(lna)=0
解得 a=e^(1/e)
所以 a=e^(1/e)