Question

联立方程的求解方法

Answer 1

石根华介绍了一种新的联立方程的求解方法，即非零存储法，这种方法以图论为基础，是一种很高效率的直接解法，具有存储要求低、计算量少、避免出错的优点。

假定联立方程式系统是：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

式中：A是一n×n系数矩阵；X是一n×1未知系数矩阵；F是一n×1自由项矩阵。

这些矩阵的元素仍是子矩阵：

矩阵A的元素A_ij是q×q子矩阵；

矩阵X的元素X_i是q×1子矩阵；

矩阵F的元素F_i是q×1子矩阵。

这里，n是块体数且每个块体有6个未知数，因此q=6，子矩阵A_ij，X_i及F_i分别是6×6、6×1及6×1子矩阵。

三角形分解是高斯消元法的矩阵形式。假定系数矩阵的对称性为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

为推导解这些联立方程式的计算方法，我们先给定一个下三角形矩阵L，其每个元素L_ij是一q×q子矩阵，在i＜j处为零矩阵。

三角形分解方法假定A是三个矩阵相乘：

A=LD^-1L^T （3.81）

式中：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

矩阵A分解为三个矩阵的乘积LD^-1L^T，简化了我们的计算，因为这些分量矩阵每一个都是对称矩阵或三角形矩阵。

令I是一个6×6矩阵：

I_6×6=1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0︙ ︙ ︙ ︙ ︙0 0 0 … 1

则有：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

方程式（3.81）重写为：

A=L（D^-1L^T） （3.84）

或：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

在矩阵相乘公式（3.85）中，每个元素有它自己的子矩阵。元素子矩阵：

L_ij，j≤i≤n

形成一个下三角矩阵L。为计算所有子矩阵L_ij，矩阵相乘公式（3.85）在计算方法中重写如下：对i≥j或下三角部分，

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

用公式（3.86）子矩阵L_ij可随后算得：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

设所有：

L_rs，r（n-1）+s ＜ i（n-1）+j （3.88）

则：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

可算出，因为：

L_ik，L_kk，L_jk （3.90）

在方程式（3.89）的右边已经算得。

方程式：

AX=F

可转换为两个方程：

LY=F （3.91）

D^-1LX=Y （3.92）

亦即：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则：

Y₁，Y₂，…，Y_n-1，Y_n

随后可算得。公式（3.93）叫做正向替换。

公式（3.92）是为计算未知数矩阵X的，

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则：

X_n，X_n-1，…，Y₂，Y₁

随后可算得。公式（3.94）叫做反向替换。