Question

考试最后一道题：已知函数f(x)=1/2x^2-ax+(a+1)lnx,a>1 （详细请见后面）

（1)讨论函数f(x)的单调性 （2）若a<5，证明：对任意x1,x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)/x1-x2 >-1 请详解谢谢

Answer 1

(1)由已知定义域x>0
f'(x)=x-a+ (a+1)/x
讨论f'(x)=x²-ax+（a+1）/x的正负性
当判别式<=0, a<=2+2√2，f(x)单调递增
当判别式>0, a>2+2√2, f(x)在(0,(a+√a²-4a-4)/2)递减，在（(a+√a²-4a-4)/2，+∞）递增
（2）f(x1)-f(x2)/x1-x2=1/2(x1+x2)-a+(a+1)(lnx1-lnx2/x1-x2)
因为lnx1-lnx2/x1-x2>=2/(x1+x2) (这一步可以用导数来推导)
所以f(x1)-f(x2)/x1-x2=1/2(x1+x2)+(a+1)2/(x1+x2)-a>=2√a+1 -a(均值)
1<a<5时,2√a+1 -a>-1

命题得证#

Answer 2

f(x)定义域是x>0
f'(x)=x-a+ (a+1)/x
令f'(x)>0
x²-ax+（a+1）>0
（x-a）（x-1）>0
由于a>1
所以x>a或者x<1
所以
f(x)在(0,1)单调增 ，在（1，a）单调减，在（a，+∞）单调增

2）
证明：
要证明f(x1)-f(x2)/x1-x2 >-1
即(f(x1)-f(x2)+x1-x2)(x1-x2)>0
f(x1)-f(x2)+x1-x2
=1/2 x1^2 -ax1 +(a+1)lnx1 -1/2x2^2+ax2-(a+1)lnx2+x1-x2
=1/2(x1+x2)(x1-x2)-a(x1-x2)+(a+1)ln(x1/x2)+x1-x2
=(x1-x2)(1/2 x1+1/2 x2-a+1)+(a+1)ln(x1/x2)
……
这个要利用单调性了…