Question

纵、横波波动方程

Answer 1

在弹性波方程中，外力F既包含胀缩力(正压力)，也包含旋转力(剪切力)，位移U也包含体变和形变两部分。若对弹性波方程式(1.2-1)两边取散度或取旋度，就可将弹性波方程分离为纵、横波方程。

对式(1.2-1)两边取散度(div)，可得方程

地震勘探原理、方法及解释

若令

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(1.2-4)式可写成

地震勘探原理、方法及解释

式中：divF代表胀缩力，该式描述了在只有胀缩力的作用时，弹性介质只产生与体变系数θ有关的扰动，称式(1.2-6)为用位移表示的纵波波动方程，式中V_P为纵波传播速度。

同样，若对式(1.2-1)两边取旋度(rot)，并令ω=rotU，可得方程

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令

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式(1.2-7)可写成

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式中：rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力作用时，弹性介质只产生与形变ω有关的扰动，称式(1.2-9)为用位移表示的横波波动方程，式中V_S为横波传播速度。

为使纵、横波方程简单化，可进一步用位函数表达纵、横波方程。

已知U和F是矢量，根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理：任一矢量函数U，若它的散度和旋度有意义，则该矢量场可分解为一个无旋部分和有旋部分之和，即

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并且总可以找到一个标量位φ和矢量位ψ使下式成立

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φ代表位移场的标量位，ψ代表位移场的矢量位；Φ代表标量力位，Ψ代表矢量力位。

将式(1.2-11)分别代入式(1.2-6)和式(1.2-9)，可得用位函数表示的纵、横波波动方程

地震勘探原理、方法及解释

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若矢量位ψ=ψ(ψ_x，ψ_y)，则式(1.2-13)也可写成标量方程

地震勘探原理、方法及解释

式(1.2-12)、式(1.2-14)是标量位函数表示的三分量标量波动方程，式(1.2-12)是纵波标量波动方程，式(1.2-14)是标量横波波动方程。

在以上传播方程中，当速度V_P、V_S分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律，若速度V_P=V_P(x，y，z)、V_S=V_S(x，y，z)，则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律。但对各向异性、黏弹性介质以及双相介质模型的波传播方程需要重新建立。