Question

泰勒公式解答极限问题？

屏幕前的大神晚上好！这道题的常规做法我知道，主要是想知道用泰勒怎么计算，感谢感谢

Answer 1

用泰勒公式求极限这个方法是可以的。而且有的题目只能用这种方法才能解或更简单的解。考研用这种方法是可以的，但是考研一般可以不用这种方法，考研很多时候考的是思维，而不仅仅局限于某种特定的方法。比如有一道考研题求x→+∞时，（x^3+x^2+1)(sinx+cosx+1)/(2^x－x^3)的极限，这道题的关键是利用好有界函数和无穷小的乘积仍是无穷小这个结论。我想强调的是但遇到求极限的问题的时候，先做好以下步骤：①使用四则运算法则简化运算，特别是乘法法则，计算出非零因子。②使用等价无穷小代换简化运算。③检验是否是0/0或∞/∞未定型，使用洛必达法则（不是也可转化，但用此法则有时需慎重）。其次还有变量代换法（如倒代换），重要极限法，等级无穷小代换法，马克劳林展开法（或叫泰勒公式求极限法），利用夹逼准则求极限（此法可相当灵活）法，利用定积分（一元函数、多元函数）定义求极限法（难度会比较大）等等。平时做题时可以试着多开思路，并对做过的题目进行总结思考，你就会知道这个考题的出发点是什么，解答时也会比较得心应手。
对于你说的用泰勒公式求极限的方法需注意的问题，我觉得有以下几点（仅供参考）：①一般求极限用皮亚诺余项，即形如o(x的某某次方代替),对于具体施展开到几次（一般先看分母决定，这是很重要的），而对于极限的问答题和证明题一般用拉格朗日余项。②稍微注意x在什么范围内展开（及适用条件）的（详见级数部分）。③考研时需会背sinx,cosx,e^x,Ln(1+x),tanx（tanx=x+1/3x^3+o(x^3)的展开式。④个人体会：你应该灵活的使用余项比如sinx=x+o(x^2)和sinx=x+o(x)这看起开好像没什么，但这是一个小技巧，有时会使问题很好的解决。